代数

数学归纳法

这一节内容华哥一笔带过,仅仅是因为打了星标…个人觉得挺可惜的,明明是很有意思的一章.
BTW:有些时候求通项公式不好构造,便猜一个通项,用数学归纳法证明.

克莱默法则

它是什么？

2x+ y + z = 3
x − y − z = 0
x + 2y + z = 0
你想要知道z的值，怎么办？
解决整个方程组，或者使用克♂莱默法则

概述

给定一个线性方程组，克莱默规则是一种方便的方法，可以只求解其中一个变量，而不必求解整个方程组。

解决问题

  • 左侧改为行列式

  • 等号右侧同理

    (从技术上讲，这是一个“列向量”，但你现在不需要知道这个术语，如果有的话。)

  • 用答案列替换z的系数列并计算
    行列式计算

  • Then my hand-in answer is

需要得到一个未知量，克莱默法则比其他解决方案方法都要快得多
*在求法向量时也曾用过类似矩阵的方法,但个人感觉没有通法好用.

二项式定理

能干什么?

二项式定理是一种快速脱出二项式表达式的方法（好吧，只是不那么慢而已）.当然也可用于在二项式展开中查找一个特定项，而不必查找整个展开多项式。

解释

常见问题

1.找出某一项
2.多项式化简

函数

单调性

可由定义或求导判断

  • 在学了导数以后,似乎形成了一种惰性:一看到函数就啥都不想直接导……想说的事是:简单的问题通过求导复杂化是常发生的

凹凸性

似乎它在高中并不常提及,但在今年桂林模拟好像出过类似题目…
1.比较区间中值和割线中点
2.比较二阶导数与0

独立事件的概率—-“至少”

教科书作者（和测验作者）喜欢这种类型的问题，所以值得一提。“至少”问题通常希望您将几个概率规则组合在一起.

示例 ：你正在计划一个烧烤，你想在下午2点开始。弗雷德和乔住在城镇的两边，他们都同意带上木炭。问题是他们都是懒惰者,弗雷德有40%的可能迟到，乔有30%的可能迟到。您在下午2点之前开始烧烤的概率是多少？

解决方案：这是独立事件的一个“至少”问题，尽管这次独立事件的概率不同。要在下午2点之前吃木炭烧烤，就至少有一个人必须在那时出现。至少有一个人准时到达的概率是多少？同样，你可以计算出他们俩准时的概率，弗雷德准时但乔迟到的概率，以及弗雷德的迟到和乔准时的概率 — 所有这些加在一起就是准时的概率。但同样,补充是你的朋友. “准时木炭”的补集是“木炭迟到”，只有当它们都迟到时才会发生这种情况。

P(准时) = 1-P(迟到) = 1-P(Mr.fred&Jo都迟到)

请记住,补集(complement)是你的朋友.

小心你的逻辑！你真的需要一步一步地完成工作，并写下你的步骤。请记住，所有都不是(all are not)不同于不是所有都是(not all are)。

条件概率 P(B|A)

2012年，本田雅阁是美国最常被盗的车辆. 这是否意味着您的本田雅阁比其他车型更容易被盗？

你接受了一种罕见的流感病毒的检测，结果是阳性的。你的医生告诉你测试是99%准确的。这是否意味着你有99%的机会感染了这种流感病毒？

在纽约市，强奸受害者识别出仅与0.0001%的人匹配的身体特征。警方找到具有这些特征的人并逮捕了他。难道他只有0.0001%的几率是无辜的吗？

这些是条件概率的例子,指一个事件发生的情况下另一件事发生的概率.

离散概率模型

  • 离散型随机变量

变量是“在进行实验或进行观察时测量或观察到的特征”。

您随机选择 12 个下北泽学生，测量他们的身高，然后取平均值。“学生身高”是一个连续随机变量，“12 名学生样本中的平均身高”是另一个连续随机变量。

您随机选择40个家庭，并询问每个家庭中的孩子数量。“家庭中的孩子数”是一个离散的随机变量，而“40个家庭样本中的平均孩子数”是一个连续的随机变量。
离散可以理解为非均匀分布。

  • 分布列

  • 离散概率分布
    1.均值和标准差
    定义：假设你做了很多次概率实验。离散概率分布的均值（μ）是来自无限大量试验的结果的平均值，离散概率分布的标准差（σ）是来自无限大量试验的结果的标准差。任何概率分布的平均值也称为预期值，因为从长远来看，它是预期的平均结果。
    总之,一般来说，均值告诉你长期的平均结果，SD告诉你任何特定试验的不可预测性。

    2.伯努利试验

    • 二项式分布

    贝叶斯公式

    original odds evidence adjustment = new odds
    原始概率     取证调整 = 最终概率

Issues

  • 做完23年新二卷的三角函数选择题，从桌上抓起一本数学必修二就要看。在平面向量那一章有一道题，是关于双层根号的处理：
    求$\begin{aligned}\overrightarrow{a}=\left( 2,2\sqrt{3}-4\right) \\end{aligned}$ ,$\overrightarrow{b}=\left( 1,1\right)$两个向量的夹角。
    当时实在想不出来，感觉也没什么机会遇到了，也就搁置在那。虽然这次可以从选项逆推做出来，但感觉自己着实被抽了一嘴。In a word,这次是对经验主义的一次教训，也说明了对于学习遇到的问题要尽快解决。

  • $1^2+2^2+3^2+…+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
    本来以为基本上用不到这个等式,直到求了一个回归方程…

  • 超几何分布的EX可用nM/N求,这是书上有却被忽视的…

  • 关于不等式从三角函数线可以很直观地看出以三者为高构成的几何体的面积大小关系.

  • 共轭复数这个概念的提出,或许是因为方程的复数根总是成对的(关于实数轴对称)
  • 用介值定理来修补不稳的桌子,挺有趣的;要严格证明的话,嗯……
  • 如何理解导数是切线的斜率?
    一个独立的方程,或者说是一种充要转换
    在做了22年新高考一卷第15题后得出的结论.
    看来以后对这些有关等量关系之类的字眼还要多加注意
  • 挺傻眼的，前不久才发现二项式定理一直用错了。。
    In my imagine:$\begin{aligned}\left( a+b\right) ^{n}=\sum ^{n}{i=1}C{n}^{k}a^{k}b^{n-k}\end{aligned}$
    做到一题直接问第几项的问题才发现这个

典型错误鉴赏（难视）

放在这里，希望以后不会出错了。

  • $\dfrac{10}{8}=0.8$
  • $\cos \dfrac{2\pi }{3}=1/2$
  • $\begin{aligned}\dfrac{\sum ^{n}{i=1}\left( x{i}-\overline{x}\right) \left( y{i}-\overline{y}\right) }{\sum ^{n}{i=1}\left( x{i}-\overline{x}^{2}\right) }=\sum ^{n}{i=1}\dfrac{y{i}-\overline{y}}{x{i}-\overline{x}}\
    \end{aligned}$